Question

对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”.定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如:1,0,1，则设是“0-1数列”，令
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(Ⅰ) 若数列：求数列；
(Ⅱ) 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
(Ⅲ)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，.求关于的表达式.

Answer 1

解：(Ⅰ)由变换的定义可得    …………………………2分
                            ………………………………4分
(Ⅱ) 数列中连续两项相等的数对至少有10对  ………………………………5分
证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，
因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，
所以中至少有10对连续相等的数对.   ……………………………8分
(Ⅲ) 设中有个01数对，
中的00数对只能由中的01数对得到，所以，
中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到； ②由中00得到，
由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个，
所以，
所以，
由可得，
所以，
当时，
若为偶数，



上述各式相加可得，
经检验，时，也满足
若为奇数，



上述各式相加可得，
经检验，时，也满足
所以…………………………………………..13分

略