Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[

2

，2]，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（　　）

• A、[

  π

  6

  ，

  π

  4

  ]
• B、[

  π

  6

  ，

  π

  3

  ]
• C、[

  π

  4

  ，

  π

  3

  ]
• D、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由e∈[

2

，2]及c²=a²+b²，得

b

a

的取值范围，设一条渐近线与实轴所成的角为θ，可由tanθ=

b

a

及0＜θ＜

π

2

探求θ的取值范围．

解答： 解：∵e∈[

2

，2]，∴2≤

c2

a2

≤4，
又∵c²=a²+b²，∴2≤

a2+b2

a2

≤4，即1≤

a2

b2

≤3，得1≤

b

a

≤

3

．
由题意知，y=

b

a

x为双曲线的一条渐近线的方程，
设此渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=

b

a

，即1≤tanθ≤

3

．
∵0＜θ＜

π

2

，∴

π

4

≤θ≤

π

3

，即θ的取值范围是[

π

4

，

π

3

]．
故答案为：C．

点评：本题考查了双曲线的离心率及正切函数的图象与性质等，关键是通过c²=a²+b²将离心率

c

a

的范围转化为渐近线的斜率

b

a

的范围．