Question

如图，已知三角形△ABC与△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点P，Q分别在线段BD，CD上，沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合．
（Ⅰ）求证：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求BP的长；
（Ⅲ）求直线AP与平面ABC所成的角．

Answer 1

（I）见解析；（Ⅱ）1;（Ⅲ）45°

解析试题分析：（I）由面ABC⊥面BCQ又CQ⊥BC推出CQ⊥面ABC,再推出CQ⊥AB;（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥平面BCQ，连接OP，由沿直线PQ将△PQD向上翻折，使D与A重合可知AP=DP即，解得BP=1;（Ⅲ）由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，所以∠APO是直线AP与平面BCD所成的角，，因此直线AP与平面BCD所成的角为45°.

试题解析：（I）证明：∵面ABC⊥面BCQ  又CQ⊥BC
∴CQ⊥面ABC
∴CQ⊥AB；
（Ⅱ）解：作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥平面BCQ，连接OP，
设AB=1，则BD=2，设BP=x，
由题意AP=DP，
∴，
∴x=1；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知AO⊥平面BCD，
∴∠APO是直线AP与平面BCD所成的角，
∴∠APO=45°，
∴直线AP与平面BCD所成的角为45°．
考点：1.空间直线的位置关系的判定;2.空间两点间的距离;3.线面角的求解