Question

11．已知曲线C的极坐标方程ρ=1，以点0为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），C′：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{3}$+ρ²sin²θ=1．
（1）设曲线C′上任意两两点A、B．且OA⊥OB，求证：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$为定值；
（2）若直线l与曲线C′交于两个不同的点A、B，M的直角坐标为（0，-2），求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$．

Answer 1

分析 （1）OA⊥OB，不妨设A（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），B$（{ρ}_{2}cos（θ+\frac{π}{2}），{ρ}_{2}sin（θ+\frac{π}{2}））$，由于C′：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{3}$+ρ²sin²θ=1，考点$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+sin²θ．代入即可证明．
（2）直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为标准参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}s}\\{y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}s}\end{array}\right.$（s为参数）．由C′：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{3}$+ρ²sin²θ=1，可得直角坐标方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．把直线参数方程代入可得：s²-6$\sqrt{3}$s+9=0，利用根与系数的关系可得：$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$=$\frac{1}{{s}_{1}}+\frac{1}{{s}_{2}}$=$\frac{{s}_{1}+{s}_{2}}{{s}_{1}{s}_{2}}$．

解答 （1）证明：∵OA⊥OB，不妨设A（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），B$（{ρ}_{2}cos（θ+\frac{π}{2}），{ρ}_{2}sin（θ+\frac{π}{2}））$，即（-ρ₂sinθ，ρ₂cosθ）．
∵C′：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{3}$+ρ²sin²θ=1，∴$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+sin²θ．
∴$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+sin²θ+$\frac{si{n}^{2}θ}{3}$+cos²θ=$\frac{1}{3}+1$=$\frac{4}{3}$为定值．
（2）解：直线1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为标准参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}s}\\{y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}s}\end{array}\right.$（s为参数）．
由C′：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{3}$+ρ²sin²θ=1，可得直角坐标方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
把直线参数方程代入可得：s²-6$\sqrt{3}$s+9=0，
∴s₁+s₂=$6\sqrt{3}$，s₁s₂=9．
∴$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$=$\frac{1}{{s}_{1}}+\frac{1}{{s}_{2}}$=$\frac{{s}_{1}+{s}_{2}}{{s}_{1}{s}_{2}}$=$\frac{6\sqrt{3}}{9}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．