Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n³-10n²（?n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）求集合{n|a_n＜0，n∈N^*}（用列举法表示）．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由此能求出a_n．
（2）方法一：由（1）得an=3n2-23n+11＜0，从而得到

23- 397

2×3

＜n＜

23+ 397

2×3

，由此能求出集合{n|a_n＜0，n∈N^*}．
（2）方法二：设f（x）=x³-10x²，x∈[1，+∞），利用导数性质能求出集合{n|a_n＜0，n∈N^*}．

解答： 解：（1）n=1时，a₁=S₁=-9…（1分），
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n³-10n²-[（n-1）³-10（n-1）²]
=3n²-23n+11，…（5分）
n=1时，3n²-23n+11=-9，…（6分）
?n∈N^*，an=3n2-23n+11．…（7分）
（2）方法一：由（1）得an=3n2-23n+11＜0，…（8分）

23- 397

2×3

＜n＜

23+ 397

2×3

…（10分）
∵?n∈N^*，∴1≤n≤7，…（12分）
∴所求集合{n|an＜0，n∈N*}={1，2，3，4，5，6，7}．…（13分）
（2）方法二：设f（x）=x³-10x²，x∈[1，+∞），
则f′（x）=3x²-20x，…（10分）
由f′（x）=3x²-20x＜0，得0＜x＜

20

3

，…（11分）
由0＜n-1＜

20

3

，
?n∈N^*得n=2，3，4，5，6，7…（12分），
a₁=S₁=-9＜0，a₈=S₈-S₇=19＞0，
∴{n|an＜0，n∈N*}={1，2，3，4，5，6，7}．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查集合的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．