【题目】定义在R上的函数y=f(x).对任意的a,b∈R.满足:f(a+b)=f(a)f(b),当x>0时,有f(x)>1,其中f(1)=2.
(1)求f(0),f(﹣1)的值;
(2)判断该函数的单调性,并证明;
(3)求不等式f(x+1)<4的解集.
【答案】(1);(2)在
上递增,证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)用特殊值法令a=1,b=0,可得f(0)的值,令a=1,b=﹣1,分析可得f(﹣1)的值;(2)由f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)f(x1),结合用定义法求函数单调性的方法可得结论;(3)f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=4,据此分析可得f(x+1)<4f(x+1)<f(2)x+1<2,解可得x的取值范围,即可得答案.
(1)根据题意,对任意的a,b∈R,满足f(a+b)=f(a)f(b);
令a=1,b=0,则f(1)=f(0)f(1),又由f(1)>1,则f(0)=1;
令a=1,b=﹣1,则f(0)=f(1)f(﹣1),又由f(1)=2,则f(-1)=;
(2)f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
任取x1,x2∈(﹣∞,+∞)且x1<x2,则有x2﹣x1>0,则f(x2﹣x1)>1,
f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)f(x1)>f(x1),
则f(x2)﹣f(x1)>0,
即函数f(x)为增函数;
(3)根据题意,f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=4,
则f(x+1)<4f(x+1)<f(2)x+1<2,
解可得:x<1,
即不等式的解集为(﹣∞,1).
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【题目】三棱锥P﹣ABC中,底面△ABC满足BA=BC, ,P在面ABC的射影为AC的中点,且该三棱锥的体积为
,当其外接球的表面积最小时,P到面ABC的距离为( )
A.2
B.3
C.
D.
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【题目】如图,在直三棱柱中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E是BC中点.
(Ⅰ)求证:A1B//平面AEC1;
(Ⅱ)在棱AA1上存在一点M,满足,求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值。
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【题目】某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主).
(1)根据茎叶图,帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.
(2)根据以上数据完成如下2×2列联表.
(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?
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【题目】已知为常数,函数
.
(1)当时,求关于
的不等式
的解集;
(2)当时,若函数
在
上存在零点,求实数
的取值范围;
(3)当时,对于给定的
,且
,
,证明:关于
的方程
在区间
内有一个实根.
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【题目】下列四个对应f,不是从集合A到集合B的函数的是( ).
A. A= ,B={-6,-3,1},
,f (1)=-3,
;
B. A=B={x|x≥-1},f (x)=2x+1;
C. A=B={1,2,3},f (x)=2x-1;
D. A=Z,B={-1,1},n为奇数时,f (n)=-1,n为偶数时,f (n)=1.
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【题目】将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1 , P2 , 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:
观察图形,回答下列问题:
(1)估计这次环保知识竞赛成绩的中位数;
(2)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率?
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