Question

1．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆C过点$M（{0，\sqrt{3}}）$，且△MF₁F₂为正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）垂直于x轴的直线与椭圆C交于A、B两点，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=$\sqrt{3}$，运用正三角形的性质可得c=btan30°=1，求得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）设直线PB的方程为y=k（x-4）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，设点B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），通过韦达定理求出直线方程，即可求出定点坐标．

解答 解：（1）椭圆C过点$M（{0，\sqrt{3}}）$，可得b=$\sqrt{3}$，
△MF₁F₂为正三角形，可得c=btan30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=2，即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0①
设点B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁），
直线AE的方程为y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂），
令y=0，得x=x₂-$\frac{{y}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，
再将y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入
整理得x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$②
由①得x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
代入②整理得x=1，
所以直线AE与x轴相交于定点（1，0）．

点评 本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．