【题目】已知函数,
在点
处的切线方程为
.
(1)求的解析式;
(2)求的单调区间;
(3)若函数在定义域内恒有
成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
的单调增区间为
,单调减区间为
;
(3).
【解析】【试题分析】(1)借助导数的几何意义建立方程组求解;(2)先求导再借助导数与函数单调性之间的关系求解;(3)先将不等式进行等价转化,再分离参数借助导数知识求其最值,即可得到参数的范围。
(1)由题意,得,
则,∵在点
处的切线方程为
,
∴切线斜率为,则
,得
,
将代入方程
,得
,解得
,
∴,将
代入得
,
故.
(2)依题意知函数的定义域是,且
,
令,得
,令
,得
,
故的单调增区间为
,单调减区间为
.
(3)由,得
,
∴在定义域
内恒成立.
设,则
,
令,得
.
令,得
,令
,得
,
故在定义域内有极小值
,此极小值又为最小值.
∴的最小值为
,
所以,即
的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
之外的零件数,求;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
经计算得,
,其中
为抽取的第
个零件的尺寸,
.
用样本平均数作为
的估计值
,用样本标准差
作为
的估计值
,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除
之外的数据,用剩下的数据估计
和
(精确到0.01).
附:若随机变量服从正态分布
,则
,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,直线
:
与以原点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的左顶点
作直线
,与圆
相交于两点
,
,若
是钝角三角形,求直线
的斜率
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下:
组号 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 | 第五组 |
分组 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xoy中,直线的参数方程为
(t为参数),P、Q分别为直线
与x轴、y轴的交点,线段PQ的中点为M.
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标和直线OM的极坐标方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数图象恰好经过k个格点,则称函数为k阶格点函数.已知函数:
①y=sinx; ②y=cos(x+); ③y=ex-1; ④y=x2.
其中为一阶格点函数的序号为 ( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
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