Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，D是SC的中点，已知∠BAC=

π

2

，AB=2，AC=2

3

，SA=2，求：
（1）三棱锥S-ABC的体积；
（2）异面直线BC与AD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据锥体的体积公式，先求出三角形ABC的面积，然后利用体积公式计算体积即可．
（2）利用直线平行的性质，求出异面直线所成角的大小．

解答：解：（1）∵∠BAC=

π

2

，AB=2，AC=2

3

，∴S△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∵SA⊥底面ABC，SA=2，
∴三棱锥S-ABC的高为SA=2，
三棱锥S-ABC的体积V=

1

3

S△ABC•SA=

1

3

×2

3

×2=

4

3

3

．
（2）取SB中点E，连结DE、AE，则ED∥BC，
所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．
在△ADE中，DE=2，AE=

2

，AD=2
由余弦定理，得cos∠ADE=

22+22-2

2×2×2

=

3

4

，
∴异面直线BC与AD所成的角的余弦值为

3

4

．

点评：本题主要考查三棱锥的体积公式以及异面直线所成角的大小，要求熟练掌握相应的计算公式．