Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N₊），则数列{a_n}的通项公式为a_n=（n+1）•2ⁿ．

Answer 1

分析 由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N₊），利用递推关系可得：a_n-2a_n=2ⁿ，变形为$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N₊），
∴n=1时，a₁=2a₁-4，解得a₁=4；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ⁺¹-$（2{a}_{n-1}-{2}^{n}）$，化为：a_n-2a_n=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，公差为1，首项为2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ．
故答案为：a_n=（n+1）•2ⁿ．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．