Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为

2

的正方形，侧棱长为

3

，E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析：欲证平面D₁EF⊥平面AB₁C，根据面面垂直的判定定理可知在平面AB₁C内一直线与平面D₁EF垂直，而B₁O⊥EF，B₁O⊥D₁O₁根据线面垂直的判定定理可知B₁O⊥平面D₁EF，满足定理条件．

解答：证明：如图，∵E、F分别是AB₁、CB₁的中点，
∴EF∥AC．
∵AB₁=CB₁，
O为AC的中点，
∴B₁O⊥AC．
故B₁O⊥EF．
在Rt△B₁BO中，∵BB₁=

3

，BO=1，
∴∠BB₁O=30°．从而∠OB₁D₁=60°，又B₁D₁=2，B₁O₁=

1

2

OB₁=1（O₁为BO与EF的交点）．
∴△D₁B₁O₁是直角三角形，即B₁O⊥D₁O₁．
∴B₁O⊥平面D₁EF．又B₁O?平面ACB₁，
∴平面D₁EF⊥平面AB₁C．

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．