Question

已知多面体中，平面，平面，，，为的中点.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值的大小.

Answer 1

（1）详见解析；（2）直线与平面所成角的余弦值为.

试题分析：（1）取的中点，连接、，证明平面，进而得到；（2）法一是利用四边形为平行四边形得到，于是得到点和点到平面的距离相等，证明平面，由于点为的中点，由中位线原理得到点到平面的距离为线段长度的一半，于是计算出点到平面的距离，根据直线与平面所成角的原理计算出直线与平面所成角的正弦值，进一步求出该角的余弦值；法二是分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，再根据同角三角函数的平方关系求出这个角的余弦值.
试题解析：（1）如下图所示，取的中点，连接、、，

、分别为、的中点，则，
由于平面，平面，，
又，，，，所以，平面，
平面，，
，且点为的中点，所以，
，平面，
平面，；
（2）法一：由（1）知，故四边形为平行四边形，，
故点到平面的距离等于点到平面的距离，如下图所示，连接、，
取的中点，连接，

由于平面，且平面，，
，
同理，，
因为点为的中点，，
由于，故为等边三角形，
为的中点，，，
由于四边形为平行四边形，所以，，，
，点为的中点，，
因为，平面，
、分别为、的中点，，平面，
且，故点到平面的距离为，
设直线与平面所成的角为，则，
，故直线与平面所成角的余弦值为；
法二：分别以、、为、、轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，，
设平面的法向量为，则，
设，则，，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值为；