Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，PA= ，E为BC的中点．
（1）证明：PE⊥ED；
（2）求二面角E﹣PD﹣A的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

在△ABC中，∵AB=1，BC=2，AB⊥AC，

∴cosB= ， B=60°，又E为BC的中点，

∴△ABE为正三角形，则AE=1，

在△AED中，∵AE=1，AD=2，∠EAD=60°，

∴ ，

∴AE2+ED2=AD2，则AE⊥ED．

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥ED，

∵PA∩AE=A，∴ED⊥平面PAE，则PE⊥ED；

（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，

过E作EG⊥AD，垂足为G，则EG⊥平面PAD，∴EG⊥PD，

过G作GH⊥PD，垂足为H，连接EH，

∴PD⊥平面EGH，则PD⊥EH．

则∠EHG为二面角E﹣PD﹣A的平面角．

在Rt△AED中，由AE=1，AD=2，ED= ，可得EG= ，

∴GD= ，

由△PAD∽△GHD，可得 ，即GH= = ．

∴tan ，即∠EHG=60°．

∴二面角E﹣PD﹣A的大小为60°

【解析】（1）在△ABC中，由题意可得△ABE为正三角形，则AE=1，在△AED中，求解三角形可得AE⊥ED．然后利用线面垂直的判定可得ED⊥平面PAE，从而得到PE⊥ED；（2）由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面ABCD，然后找出二面角E﹣PD﹣A的平面角．求解三角形可得二面角E﹣PD﹣A的大小．
【考点精析】通过灵活运用空间中直线与直线之间的位置关系，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点即可以解答此题．