Question

20．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是直四棱拄，其底面是边长为m的菱形，∠BAD=60°，对角面 BDD₁B₁是矩形，G，H分别是CD₁，B₁C的中点．
（1）求证AD₁∥平面BDGH．
（2）若平面ACD₁⊥平面ACB₁，AA₁=2，求m．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，连OG，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）连OD₁，OB₁，由二面角的定义，可得∠B₁OD₁是二面角B₁-AC-D₁的平面角，即∠B₁OD₁=90°，再由面面垂直的性质定理和条件，即可得到AB=4．

解答 （1）证明：设AC∩BD=O，连OG，
∵ABCD为菱形，∴AO=CO，
又G为中点，∴OG∥AD₁，OG=$\frac{1}{2}$AD₁，
AD₁?面BDGH，OG?面BDGH，
∴AD₁∥平面BDGH．
（2）解：连OD₁，OB₁，
∵AD₁=CD₁，O为AC的中点，
∴OD₁⊥AC，同理OB₁⊥AC，
∠B₁OD₁是二面角B₁-AC-D₁的平面角，
∴∠B₁OD₁=90°，
作OM⊥B₁D₁于M，又BDD₁B₁为矩形，
∴$\frac{OM}{{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，即有$\frac{A{A}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
即AB=4，即m=4．

点评 本题考查线面平行的判定和面面垂直的定义和性质定理的运用，考查二面角平面角的求法，考查运算能力，属于中档题．