Question

10．给出以下四个命题：
①一个底面半径为1，母线长为2的圆锥的表面积为3π；
②设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
③已知数列{a_n}是等差数列，若它的前n项和S_n有最小值，且$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}$＜-1，则使S_n＞0成立的最小自然数为19；
④函数f（x）=|lgx|，若0＜m＜n，且f（m）=f（n），则m+2n的取值范围为[2$\sqrt{2}$，+∞）；
其中正确的命题有①②（请将满足题意的序号填写在答题卷中的横线上）．

Answer 1

分析 ①利用圆锥表面积公式求解；②利用公式把函数化为f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$sin（x-α）（coxα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）进行求解；
③利用等差数列的性质进行判断；④画出函数图象，得出m，n的范围，转换为函数最值解决．

解答 解：①s圆锥=s底+s侧=π+$\frac{1}{2}$（2π）×2=3π，故正确；
②f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$sin（x-α）（coxα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）
当x=θ时，有最大值，
∴sin（θ-α）=1即sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$
∴cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故正确；
③由已知得，a₁＜0，d＞0，a₁₀＜0，a₁₁＞0，
∴a₁+a₁₉＜0，a₁₀+a₁₁＞0，
∴a₁+a₂₀＞0，
∴S₁₉＜0，S₂₀＞0，
故n=20，故错误；
④画出y=|lgx|的图象如图：

∵0＜m＜n，且f（m）=f（n），
∴0＜m＜1，n＞1
∴-lgm=lgn，
∴mn=1，
∴n=$\frac{1}{m}$，
∴m+2n=m+$\frac{2}{m}$
令g（m）=m+$\frac{2}{m}$，在（0，1）上单调递减，
∴g（m）＞g（1）=1+2=3，
即m+2n＞3，
则m+2n的取值范围是（3，+∞），故错误；
故正确命题为①②．

点评 考查的知识点全面，属于综合性试题，学生要有耐心．