Question

12．已知F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，AB为抛物线的过焦点的弦，C为抛物线的准线与对称轴的交点．若以AC为直径的圆恰过点B，则|AF|-|BF|的值为2p．

Answer 1

分析 由题意得三角形CBF为直角三角形，利用射影定理，直角三角形CBF与直角三角形ADF相似，即可得出结论．

解答 解：由题意得三角形CBF为直角三角形，利用射影定理得${y}_{B}^{2}=（{x}_{1}+\frac{p}{2}）?（\frac{p}{2}-{x}_{1}）=\frac{{p}^{2}}{4}-{{x}_{1}}^{2}=2p{x}_{1}，{x}_{1}=\frac{\sqrt{5}-2}{2}p，\left|BF\right|=\frac{\sqrt{5}-1}{2}p$，
设A在x轴上的射影为D，则直角三角形CBF与直角三角形ADF相似，
∴$\frac{\left|AF\right|}{p}=\frac{\left|DF\right|}{\left|BF\right|}=\frac{\left|AF\right|-p}{\left|BF\right|}，\left|AF\right|=\frac{\sqrt{5}+3}{2}p$，
则|AF|-|BF|的值为2p，
故答案为：2p．

点评 复杂问题包含的信息比较多，一个条件往往包含着具有等价关系的条件链，本题能否得到条件“以AC为直径的圆恰过点B”的等价条件“三角形CBF为直角三角形”，这是解题的关键，也是使思维陷入绝境或者柳暗花明的分水岭