Question

13．已知曲线E：x²+ny²=n²，直线l：y=kx+m（其中|k|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$）与曲线E相交于A、B两点．
（1）若n∈R，试判断曲线E的形状；
（2）若n=2，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在曲线E上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类n=0时，x=0，表示直线x=0，当n＜0时，表示以焦点在x轴上，以2n为实轴，以2$\sqrt{{n}^{2}-n}$为焦距的双曲线，当n＞0时，n＞1时，表示焦点在x轴上，以2n为长轴，以2$\sqrt{{n}^{2}-n}$为焦距的椭圆，0＜n＜1时，表示焦点在y轴上，以2$\sqrt{n}$为长轴，以2$\sqrt{n-{m}^{2}}$为焦距的椭圆，n=1时，表示圆心在原点，以1为半径的圆；
（2）先对k 分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由点到直线的距离公式可知：|OP|=$\sqrt{2}$；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．

解答 解：（1）当n=0时，x²=0，x=0，
曲线E的形状表示直线x=0，
当n＜0时，$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{-n}=1$，表示以焦点在x轴上，以2n为实轴，以2$\sqrt{{n}^{2}-n}$为焦距的双曲线，
当n＞0时，$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$，
当n²＞n，即n＞1时，表示焦点在x轴上，以2n为长轴，以2$\sqrt{{n}^{2}-n}$为焦距的椭圆，
当n²＜n，即0＜n＜1时，表示焦点在y轴上，以2$\sqrt{n}$为长轴，以2$\sqrt{n-{m}^{2}}$为焦距的椭圆，
当n²=n，即n=1时，表示圆心在原点，以1为半径的圆；
（2）当n=2时，曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|OP|=$\sqrt{2}$；
当k≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消y化简整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（4k²-m²-2＞0①
设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
则x₀=x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
由于点P在椭圆C上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{2}=1$．
从而$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+\frac{2{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}=1$，化简得2m²=1+2k²，经检验满足①式，
又|OP|=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$，
∵0＜|k|≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴1＜1+2k²≤2，
∴1≤$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$＜2，
∴$\sqrt{2}$＜|OP|≤$\sqrt{3}$，
综上，所求|OP|的取值范围是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决，属于中档题．