Question

（本小题满分12分）
已知函数，其中是自然对数的底数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的单调区间；
（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）
（2）①若，.单调递增区间为.
②若，所以的单调递减区间为.
③若，单调递增区间为.  
（3）

解析试题分析：解：（1）因为，
所以，       1分
所以曲线在点处的切线斜率为.     2分
又因为，
所以所求切线方程为，即．    3分
（2），
①若，当或时，；
当时，.
所以的单调递减区间为，；
单调递增区间为.                             5分
②若，，所以的单调递减区间为. 6分
③若，当或时，；
当时，.
所以的单调递减区间为，；
单调递增区间为.                           8分
（3）由（2）知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，在处取得极大值.    10分
由，得.
当或时，；当时，.
所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.
故在处取得极大值，在处取得极小值.   12分
因为函数与函数的图象有3个不同的交点，
所以，即. 所以.12分
考点：导数的运用
点评：主要是考查了导数的符号与函数单调性的关系的运用，属于中档题。