Question

19．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（2014）+f（2015）=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出函数的周期，利用周期性和奇偶性进行转化即可．

解答 解：偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，
∴f（-x+2）=-f（x+2）=f（x-2），
即-f（x+4）=f（x），
则f（x+4）=-f（x），f（x+8）=-f（x+4）=f（x），
即函数的周期是8的周期函数，
则f（2014）=f（252×8-2）=f（-2），
由-f（x+4）=f（x）得当x=-2时，-f（-2+4）=f（-2），
即-f（2）=f（2），即f（2）=0，∴f（2014）=f（-2）=0，
f（2015）=f（252×8-1）=f（-1）=f（1）=1，
则f（2014）+f（2015）=0+1=1，
故选：D

点评 本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性求出函数的周期是解决本题的关键．