Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（I）利用两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性即可得出；
（II）由余弦定理和基本不等式的性质、正弦余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

2

=2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

2

=

1

2

sin2x+

2 3 cos2x- 3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin(2x+

π

3

)，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ解得

π

12

+kπ≤x≤

7

12

π+kπ（k∈Z），
可得函数f（x）的单调递减区间为[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ](k∈Z)；
（II）由余弦定理可得；cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cosB＜1，∴0＜B≤

π

3

，
∴

π

3

＜2B+

π

3

≤π．
∴f(B)=sin(2B+

π

3

)∈[0，1]．

点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦余弦函数的单调性、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．