Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且椭圆经过点A（0，-1）
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）如果过点H（0，

3

5

）的直线与椭圆E交于M、N两点（点M、N与点A不重合）．
①若△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求直线MN的方程；
②在y轴是否存在一点B，使得

BM

⊥

BN

，若存在求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

b=1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出曲线E的方程．
（Ⅱ）①设直线MN的方程为y=kx+

3

5

，把y=kx+

3

5

代入椭圆方程，得：（1+4k²）x²+

24

5

kx-

64

25

=0，若k=0，则P（0，

3

5

），满足AP⊥MN，直线MN的方程为y=

3

5

；k≠0，则k_AP=-

20k2+8

12k

=-

1

k

，直线MN的方程为y=±

5

5

x+

3

5

，由此能求出直线MN的方程．
②假设存在点B（0，t），满足

BM

⊥

BN

，

BM

=(x1，y1-t)，

BN

=(x2，y2-t)，由

BM

•

BN

=0，解得t=-1．从而推导出存在B（0，-1），使得

BM

⊥

BN

．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且椭圆经过点A（0，-1），
∴

b=1 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1c=

3

，
∴曲线E的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）①若过点H的直线斜率不存在，此时M，N两点吸一个点与A点重合，不满足题意，
∴直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为y=kx+

3

5

，
把y=kx+

3

5

代入椭圆方程，得：
（1+4k²）x²+

24

5

kx-

64

25

=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），
则x1+x2=-

24k

5(1+4k2)

，x₁x₂=-

64

25(1+4k2)

，
x0=

x1+x2

2

=-

12k

5(1+4k2)

，y0=kx0+

3

5

=

3

5(1+4k2)

．
AP⊥MN，且P（-

12k

5(1+4k2)

，

3

5(1+4k2)

），
若k=0，则P（0，

3

5

），显然满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y=

3

5

；
k≠0，则k_AP=-

20k2+8

12k

=-

1

k

，解得k=±

5

5

，
∴直线MN的方程为y=±

5

5

x+

3

5

，
即

5

x-5y+3=0或

5

x+5y-3=0，
综上所述：直线MN的方程为y=

3

5

或

5

x+5y-3=0．
②假设存在点B（0，t），满足

BM

⊥

BN

，

BM

=(x1，y1-t)，

BN

=(x2，y2-t)，

BM

•

BN

=x₁x₂+y₁y₂-t（y₁+y₂）+t²
=-

64

25(1+4k2)

+

-100k2+9

25(1+4k2)

-

6t

5(1+4k2)

+t2
=

(100t2-100)k2+(25t2-30t-55)

25(1+4k2)

=0，
∴

100t2-100=0 25t2-30t-55=0

，解得t=-1．
∴存在B（0，-1），使得

BM

⊥

BN

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查使向量垂直的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．