Question

在数学归纳法的递推性证明中由假设n=k时成立推导n=k+1时成立时f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

增加的项数是（　　）

• A、1
• B、2^k+1
• C、2^k-1
• D、2^k

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：当n=k成立，f（k）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

，当n=k+1时，f（k）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+2k-1

，观察计算即可．

解答： 解：假设n=k时成立，即f（k）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

，
则n=k+1成立时，有f（k）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+2k-1

，
∴左边增加的项数是（2^k+2^k-1）-（2^k-1）=2^k．
故选：D．

点评：本题考查数学归纳法，考查n=k到n=k+1成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题．