【题目】如图,已知梯形CDEF与△ADE所在平面垂直,AD⊥DE,CD⊥DE,AB∥CD∥EF,AE=2DE=8,AB=3,EF=9.CD=12,连接BC,BF.
(Ⅰ)若G为AD边上一点,DG= DA,求证:EG∥平面BCF;
(Ⅱ)求二面角E﹣BF﹣C的余弦值.
【答案】证明:(Ⅰ)∵梯形CDEF与△ADE所在平面垂直,AD⊥DE,CD⊥DE,AB∥CD∥EF, ∴以D为原点,DC为x轴,DE为y轴,DA为z轴,建立空间直角坐标系,
∵AE=2DE=8,AB=3,EF=9.CD=12,连接BC,BF.G为AD边上一点,DG= DA,
∴E(0,4,0),G(0,0, ),B(3,0,4
),C(12,0,0),F(9,4,0),
=(9,0,﹣4
),
=(6,4,﹣4
),
=(0,﹣4,
),
设平面BCF的法向量 =(x,y,z),
则 ,取z=3
,得
=(4,3,3
),
∵ =﹣12+12=0,EG平面BCF,
∴EG∥平面BCF.
解:(Ⅱ) =(3,﹣4,4
),
=(9,0,0),
设平面BEF的法向量 =(a,b,c),
则 ,取c=1,
=(0,
,1),
平面BFC的法向量 =(4,3,3
),
设二面角E﹣BF﹣C的平面角为θ,
则cosθ= =
=
.
∴二面角E﹣BF﹣C的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)以D为原点,DC为x轴,DE为y轴,DA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明EG∥平面BCF.(Ⅱ)求出平面BEF的法向量和平面BFC的法向量,利用向量法能求出二面角E﹣BF﹣C的余弦值.
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本,需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有下列四个命题:
①垂直于同一条直线的两条直线平行;
②垂直于同一条直线的两个平面平行;
③垂直于同一平面的两个平面平行;
④垂直于同一平面的两条直线平行.
其中正确的命题有(填写所有正确命题的编号).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥A﹣BCD中,已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直,AB=BD,∠CBA=∠CBD= ,则直线AD与平面BCD所成角的大小是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知过点A(0,4),且斜率为的直线与圆C:
,相交于不同两点M、N.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:为定值;
(3)若O为坐标原点,问是否存在以MN为直径的圆恰过点O,若存在则求的值,若不存在,说明理由。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数),直线l的参数方程为
(t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴为正半轴为极轴的极坐标系中,过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A,且点A的极坐标为(2
,θ),其中θ∈(
,π)
(Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)若射线OA与直线l相交于点B,求|AB|的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线l:y=k(x+2)与圆O:x2+y2=4相交于不重合的A、B两点,O是坐标原点,且三点A、B、O构成三角形.
(1)求k的取值范围;
(2)三角形ABO的面积为S,试将S表示成k的函数,并求出它的定义域;
(3)求S的最大值,并求取得最大值时k的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M,若|MF|=4,则直线l的方程为( )
A.
B.y= x+1
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com