Question

已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0，
（1）若f（x）为[0，+∞）上的减函数，求a，b应满足的关系；
（2）解不等式ln(1+

x- 1 x

)-

x- 1 x

≤ln2-1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,对数的运算性质

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，由条件知f'（x）≤0对x≥0恒成立，对a，b分析即可；
（2）可令a=b=1，得到f（x）=ln（x+1）-x，运用单调性，将原不等式转化为f(

x- 1 x

)≤f(1)，即

x- 1 x

≥1，解出即可．

解答： 解：（1）f′(x)=

a

ax+b

-1=

a-b-ax

ax+b

（a＞0，b＞0），
∵f（x）为[0，+∞）上的减函数
∴f'（x）≤0对x≥0恒成立，
∴a-b≤0即a≤b；
（2）在（1）中取a=b=1，即f（x）=ln（x+1）-x，
由（1）知f（x）在[0，+∞）上是减函数，
∴ln(1+

x- 1 x

)-

x- 1 x

≤ln2-1
即f(

x- 1 x

)≤f(1)，
∴

x- 1 x

≥1，解得

1- 5

2

≤x＜0，或x≥

1+ 5

2

故所求不等式的解集为  [

1- 5

2

，0)∪[

1+ 5

2

，+∞)．

点评：本题考查导数的综合运用，考查运用导数研究函数的单调性，以及应用函数的单调性解不等式，属于中档题．