Question

一条直线被椭圆x²+2y²=4所截得弦的中点坐标是（1，1），则此直线方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），A（1，1）为EF中点，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程．

解答： 解：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
∵A（1，1）为EF中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）分别代入椭圆x²+2y²=4，
得x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=-

1

2

，
∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-1=-

1

2

（x-1），
整理，得x+2y-3=0．
故答案为：x+2y-3=0．

点评：本题考查以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．