利用手机发放红包已成近几年过年的一大时尚．某市一调查机构针对“过年收取手机红包的情况.抽取了600人进行了随机调查.调查结果如表:收到的手机红包金额tt≤100100＜t≤1000t＞1000人数15010050将频率视为概率.试解决下列问题:(Ⅰ)从该市市民中任意选取1人.求其收到的手机红包金额超过100元的概率,(Ⅱ)从该市市民中任意选取4人.求至多有1人收� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．利用手机发放红包已成近几年过年的一大时尚．某市一调查机构针对“过年收取手机红包”的情况，抽取了600人进行了随机调查，调查结果如表：

收到的手机红包金额t（单位：元）	t≤100	100＜t≤1000	t＞1000
人数（单位：人）	150	100	50

将频率视为概率，试解决下列问题：
（Ⅰ）从该市市民中任意选取1人，求其收到的手机红包金额超过100元的概率；
（Ⅱ）从该市市民中任意选取4人，求至多有1人收到的手机红包金额超过100元的概率；
（Ⅲ）若从所抽取的600人中按照分层抽样的方法随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中收到的手机红包金额超过100元的人数为X．
（i）求所抽取的12人中，收到的手机红包金额超过100元的人数；
（ii）求X的分布列及数学期望．

分析（Ⅰ）将频率视为概率，求出某人收到的手机红包金额t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的概率，由此利用互斥事件加法公式能求出任选1人，收到的手机红包金额超过100元的概率．
（Ⅱ）设“从4人中任意选取1人，至多有1人收到的手机红包金额超过100元”为事件A，由此利用n次独立重复试验能求出事件至多有1人收到的手机红包金额超过100元的概率．
（Ⅲ）（i）由分层抽样，求出样本容量为2的样本中，收到手机红包金额t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的人数分别为3，8，1，由此能求出所取的12人中，收到手机红包金额超过100元的人数．
（ii）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答解：（Ⅰ）将频率视为概率，某人收到的手机红包金额t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的概率分别为：
${p}_{1}=\frac{150}{600}$=$\frac{1}{4}$，p₂=$\frac{400}{600}$=$\frac{2}{3}$，p₃=$\frac{50}{600}$=$\frac{1}{12}$，
∴任选1人，收到的手机红包金额超过100元的概率为：
p=p₂+p₃=$\frac{2}{3}+\frac{1}{12}$=$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）设“从4人中任意选取1人，至多有1人收到的手机红包金额超过100元”为事件A，
则P（A）=${C}_{4}^{0}（\frac{1}{4}）^{4}+{C}_{4}^{1}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）$=$\frac{13}{256}$．
（Ⅲ）由分层抽样，知：
样本容量为2的样本中，收到手机红包金额t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的人数分别为3，8，1，
（i）所取的12人中，收到手机红包金额超过100元的人数为8+1=9．
（ii）X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$，
∴X的分布列为：

X	0	1
P	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$

∴E（X）=$0×\frac{1}{220}+1×\frac{27}{220}$+$2×\frac{27}{55}$+3×$\frac{21}{55}$=$\frac{9}{4}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

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