Question

下列命题：
（1）若x²+y²=0（x，y∈C），其中C为复数集，则xy=0；
（2）命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
（3）半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形面积为

1

2

；
（4）若α、β为锐角，tan(α+β)=

1

2

，tanβ=

1

3

，则α+2β=

π

4

；其中真命题的序号是

（2）（4）

．

Answer 1

分析：（1）说明若x²+y²=0（x，y∈C），其中C为复数集，则xy=0不成立，只要在复数集中找到x、y的值，使x²+y²=0，xy≠0即可；
（2）把已知的命题的条件和结论分别否定作为条件和结论，即可得到原命题的否命题；
（3）先由弧长公式l=r•|α|求得弧长，再运用面积公式S=

1

2

l•r求出面积；
（4）根据给出的α、β为锐角，结合tan(α+β)=

1

2

，tanβ=

1

3

求出α+2β的一个较小的范围，然后利用拆角的方法把α+2β拆为（α+β）+β，再利用和角的正切求tan（α+2β），最后结合角的范围求出α+2β．

解答：解：（1）若x，y∈C，其中C为复数集，则当x=1，y=i时有x²+y²=1²+i²=1-1=0，此时xy=i．
所以，若x²+y²=0（x，y∈C），其中C为复数集，则xy=0不正确．即（1）不正确；
（2）命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”．所以（2）正确；
（3）半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形的弧长为l=2×

1

2

=1，所以其面积为S=

1

2

×1×2=1．
所以半径为2，圆心角的弧度数为

1

2

的扇形面积为

1

2

不正确，即（3）不正确；
（4）因为α、β为锐角，且tan(α+β)=

1

2

，tanβ=

1

3

，则0＜α+β＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，
所以0＜α+2β＜π．
又tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)•tanβ

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1．
所以，则α+2β=

π

4

．
则命题（4）正确．
故答案为（2）（4）．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了特值验证思想，要说明一个命题为假命题，只要能举出一个反例即可，判断命题（4）时运用了拆角技巧，同时考查了角范围的确定，若该命题不把角的范围有效缩小，而是只以α，β为锐角来处理，将会得到错误的答案，此题是中档题．