Question

13．设函数f（x）=|x+2|+|x-2|，x∈R．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a|x-1|恰有两个不同的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）≤6的解集．
（Ⅱ）函数f（x）的图象（图中红色部分）与直线 y=a|x-1|有2个不同的交点，数形结合可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+2|+|x-2|表示数轴上的x
对应点到-2、2对应点的距离之和，
而3和-3对应点到-2、2对应点的距离之和正好等于6，
故不等式f（x）≤6的解集为 {x|-3≤x≤3 }．
（Ⅱ）∵f（x）=|x+2|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，x＜-2}\\{4，-2≤x≤2}\\{2x，x＞2}\end{array}\right.$，
∴f（x）≥4，
若关于x的方程f（x）=a|x-1|恰有两个不同的实数根，
则函数f（x）的图象与直线 y=a|x-1|（图中红色部分）
有2个不同的交点，如图所示：
由于A（-2，4）、B（2，4）、C（1，0），
∴-2＜-a＜K_CA，或 a≥K_CB，
即-2＜-a＜-$\frac{4}{3}$，或a≥4，
求得 $\frac{4}{3}$＜a＜2，或a≥4．

点评 本题主要绝对值的意义，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．