Question

4．已知函数f（x）=me^x+x+1．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：x₁+x₂＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出x₂+x₁=$\frac{{x}_{2}+1}{{e}^{{x}_{2}}}$+1+x₂，由m=$\frac{{-x}_{1}-1}{{e}^{{x}_{1}}}$=$\frac{{-x}_{2}-1}{{e}^{{x}_{2}}}$，解得：-1＜x₂＜0，令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$+x+1，（-1＜x＜0），根据函数的单调性证明即可．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=me^x+1，
m≥0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，
m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜ln（-$\frac{1}{m}$），
令f′（x）＜0，解得：x＞ln（-$\frac{1}{m}$），
故f（x）在（-∞，ln（-$\frac{1}{m}$））递增，在（ln（-$\frac{1}{m}$），+∞）递减；
（Ⅱ）证明：若f（x）有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），
由（Ⅰ）得：f（x）max=f（ln（-$\frac{1}{m}$））=ln（-$\frac{1}{m}$）＞0，
解得：-1＜m＜0，
由f（x₁）=f（x₂）得：m=$\frac{{-x}_{1}-1}{{e}^{{x}_{1}}}$①，
m（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）+（x₁-x₂）=0②，
将①代入②整理得：
x₁=$\frac{{x}_{2}+1}{{e}^{{x}_{2}}}$+1，
故x₂+x₁=$\frac{{x}_{2}+1}{{e}^{{x}_{2}}}$+1+x₂，
由m=$\frac{{-x}_{1}-1}{{e}^{{x}_{1}}}$=$\frac{{-x}_{2}-1}{{e}^{{x}_{2}}}$得：-1＜$\frac{{-x}_{2}-1}{{e}^{{x}_{2}}}$＜0，
解得：-1＜x₂＜0，
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$+x+1，（-1＜x＜0），
则g′（x）=1-xe^-x＞0，
故g（x）在（-1，0）递增，
g（x）＞g（-1）=0，
故x₂+x₁=$\frac{{x}_{2}+1}{{e}^{{x}_{2}}}$+1+x₂＞0．

点评 本题考查函数的极值，函数的单调性以及函数的零点个数的问题，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．