解:(1)∵函数f(x)=
.
∴f′(x)=x
2-2mx+m
2-4
当m=3时,f′(2)=-3,f(2)=
所以所求的直线方程为9x+3y-20=0.
(2)∵函数f(x)=
=x[
]
若关于x的方程f(x)=0有三个互不相等的实根0,α,β
则△=m
2-
>0,
解得:-4<0<4
故满足条件的实数m的取值范围为(-4,4)
(3)∵f'(x)=x
2-2mx+m
2-4=[x-(m-2)][x-(m+2)],
f(x)在(-∞,m-2)上递增,在(m-2,m+2)递减,在(m+2,+∞)递增,
f(x)
极大值=f(m-2)=
(m-2)
3-m(m-2)
2+(m
2-4)(m-2)>0,
f(x)
极小值=f(m+2)=
(m+2)
3-m(m+2)
2+(m
2-4)(m+2)<0,
得-4<m0且m
2-4≠0,得-4<m<4,m≠±2.
若m+2<0,即m∈(-4,-2),当x∈[α,β]时,f(x)
min=0,
∴当m∈(-4,-2)时,f(x)≥-
恒成立.
若m-2<0<m+2,即m∈(-2,2)要使当x∈[α,β]时,f(x)≥-
恒成立,即f(x)
min=f(m+2)≥-
.
f(m+2)=
(m+2)
3-m(m+2)
2+(m
2-4)(m+2)≥-
,得m(m
2-12)≥0
∵m∈(-2,2)∴m
2-12<0,∴m≤0,∴当-2<m≤0时,f(x)≥-
恒成立.
若0<m-2,即m∈(2,4),要使当x∈[α,β]时,f(x)≥-
恒成立,
即f(x)
min=f(m+2)≥-
,f(m+2)=
(m+2)
3-m(m+2)
2+(m
2-4)(m+2)≥-
得m(m
2-12)≥0∵m∈(2,4)
∴2
≤m<4
综上得:m的取值范围是(-4,-2)
.
分析:(1)根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=2处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程,化成一般式即可;
(2)由题意,等价于方程
x
2-mx+(m
2-4)=0有两个不相等的实数根,从而其判别式大于0,可以求出实数m的取值范围;
(3)恒成立问题转化为区间最小值≥-
即可.
点评:本题考查了导数的几何意义及恒成立问题的处理策略,解题时,弄清题意,合理运用恒成立问题的处理策略是关键