Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△ABE为直角三角形，∠BAE=90°，且AD⊥AE．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若AB=2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AE⊥DB，DB⊥AC，由此能证明DB⊥平面AEC，从而得到平面AEC⊥平面BED．
（Ⅱ）作DE的中点F，连接OF，AF，由已知条件推导出∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角．由此能求出异面直线BE与AC所成的角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，…（3分）
又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，…（4分）
所以DB⊥平面AEC，BD?面BED
故有平面AEC⊥平面BED．…（6分）
（Ⅱ）解：作DE的中点F，连接OF，AF，
∵O是DB的中点，
∴OF∥BE，∴∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角．…（8分）
设正方形ABCD的边长为2a，
则AO=

2

a，…（9分）
∵∠BAE=90°，AB=2AE，
∴AE=a，EB=

5

a，∴OF=

5

2

a…（10分）
又AD⊥AE，∴AF=

1

2

ED=

5

2

a，∴cos∠FOA=

OF2+OA2-AF2

2OF•OA

=

10

5

∴异面直线BE与AC所成的角的余弦值为

10

5

…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．