【题目】设椭圆:
的左、右焦点分别为
,上顶点为
,过点
与
垂直的直线交
轴负半轴于点
,且
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若过、
、
三点的圆恰好与直线
:
相切,求椭圆
的方程;
(III)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点作斜率为
的直线
与椭圆
交于
、
两点,在
轴上是否存在点
使得以
为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出
的取值范围,如果不存在,说明理由
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)设,由
,所以
,由于
,即
为
的中点,故
,即
,于是
,于是
的外接圆圆心为
,半径
,该圆与直线
相切,则
,即可得出
值,从而可求椭圆
的方程;
(2)由(1)可知,设
,联立方程组
,整理得
,写出韦达定理,由于菱形的对角线垂直,故
, 即
,即
,由已知条件知
且
,所以
,即可求出
的取值范围.
试题解析:
(1)设,由
,
知,因为
,所以
,
由于,即
为
的中点,
故,所以
,即
,
于是,于是
的外接圆圆心为
,半径
,
该圆与直线相切,则
,解得
,
所以,所求椭圆的方程为
.
(2)由(1)可知,
设,联立方程组
,整理得
,
设,则
,
,
由于菱形的对角线垂直,故,
故,即
,
即,
由已知条件知且
,
所以,所以
,
故存在满足题意的点,且
的取值范围是
,
当直线的斜率不存在时,不合题意.
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