Question

已知函数f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ），（0＜φ＜π）其图象过点（

π

6

，

1

2

）．
（1）求函数f（x）的解析式及单调增区间和对称轴方程；
（2）将y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求g（x）的解析式及它在[

π

4

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）把点代入已知的式子，由三角函数的运算可得Φ的值，进而可得对称轴；
（2）由图象的变换可得g（x）的解析，由x的范围，逐步求解可得值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ），（0＜φ＜π），
又因其图象过点（

π

6

，

1

2

），
∴

1

2

=

1

2

sin（2×

π

6

）sinφ+cos²

π

6

cosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ），（0＜φ＜π）
解得Φ=

π

3

，∴f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）=

1

2

sin(2x+

π

6

)
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

可得x=

k

2

π+

π

6

，k∈z，即对称轴为：x=

k

2

π+

π

6

，k∈z
（2）由（1）得φ=

π

3

，
∴f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）=

1

2

sin(2x+

π

6

)
∴g（x）=

1

2

sin(4x+

π

6

)
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴4x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]
∴sin（4x+

π

6

）∈[-1，

1

2

]，∴g（x）∈[-

1

2

，

1

4

]
故所求值域为：[-

1

2

，

1

4

]

点评：本题为三角函数的综合运算，涉及三角函数的公式和对称问题以及值域，属中档题．