Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x₀，y₀）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x₀时，若

g(x)-h(x)

x-x0

＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“Hold点”．当a=4时，试问函数y=f（x）是否存在“Hold点”，若存在，请求出“Hold点”的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,直线与圆

分析：（1）求出函数的导数，求出单调区间，即可判断极值；
（2）求出a=4的导数，求出切线方程，构造φ（x）=f（x）-m（x），求出导数，求出单调区间，运用单调性，注意新定义的运用，即可判断是否存在．

解答： 解：（1）当a=1时，f′(x)=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(x-1)(2x-1)

x

，
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＞0；当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
所以当x=

1

2

时，f（x）取极大值-

5

4

+ln

1

2

，
当x=1时，f（x）取极小值-2．                    
（2）当a=4时，f（x）=x²-6x+4lnx的导数为f′（x）=2x-6+

4

x

，
函数y=f（x）在其图象上一点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=m(x)=(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)+

x

2 0

-6x0+4lnx0．
设φ（x）=f（x）-m（x）=x²-6x+4lnx-（2x₀-6+

4

x0

）（x-x₀）-（x₀²-6x₀+4lnx₀），则 φ′(x)=2x+

4

x

-6-(2x0+

4

x0

-6)=2(x-x0)(1-

2

xx0

)=

2

x

(x-x0)(x-

2

x0

)，
所以当x∈(x0，

2

x0

)时，φ′（x）＜0，则φ（x）＜φ（x₀）=0，此时

ϕ(x)

x-x0

＜0；
若x₀＞

2

，φ（x）在（

2

x0

，x₀）上单调递减，所以当x∈（

2

x0

，x₀）时，φ（x）＞φ（x₀）=0，
此时

φ(x)

x-x0

＜0，所以f（x）在（0，

2

）∪（

2

，+∞）上不存在“Hold点”，
若x₀=

2

，φ′（x）=

2

x

（x-

2

）²＞0，则φ（x）在x＞0上递增，
当x＞x₀时，φ（x）＞φ（x₀）=0，当x＜x₀时，φ（x）＜φ（x₀）=0，
则

φ(x)

x-x0

＞0，此时P是y=f（x）的“Hold点”．
综上所述，y=f（x）存在“Hold点”，

2

是一个“Hold点”的横坐标．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间和极值，考查新定义的理解和运用，考查函数单调性的运用，考查推理和判断能力，属于中档题．