Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n＞1），写出这个数列的前五项，求这个数列的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：根据数列递推式，直接求解这个数列的前五项，然后变形可得数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，由此可得结论．

解答： 解：由题意a₁=1，a_n+1=2a_n+1可以得到a₂=2a₁+1=3，a₃=2a₂+1=7，a₄=2a₃+1=15，a₅=2a₄+1=31．
∵a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n＞1），
∴a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1）
所以

an+1

an-1+1

=2，所以数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
则有a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．