Question

在正项等比数列{a_n}中，已知a₁＜a₂₀₁₅=1，若集A={t|（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_t-

1

at

）≤0，t∈N^*}，则A中元素个数为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：设公比为q，利用a₁＜a₂₀₁₅=1，确定q＞1，a₁=q^-2014，利用等比数列的求和公式，结合不等式，即可求出A中元素个数．

解答： 解：设公比为q
∵a₁＜a₂₀₁₅=a₁q²⁰¹⁴=1
∴0＜a₁＜1，q＞1，
∴a₁=q^-2014，
∴（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_t-

1

at

）=（a₁+a₂+…+a_t）-（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

at

）
=

a1(qt-1)

q-1

-

1 a1 ( 1 qt -1)

1- 1 q

≤0
∴（1-q^-t）（q^t-4029-1）≤0
∴q^t-4029-1≤0
∴q^t-4029≤1
∴t≤4029
故答案为4029．

点评：本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，正确求和是关键．