Question

（理科）已知z=a+bi（a、b∈R，i是虚数单位），z₁，z₂∈C，定义：D（z）=||z||=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||．给出下列命题：
（1）对任意z∈C，都有D（z）＞0；
（2）若

.

z

是复数z的共轭复数，则D(

.

z

)=D(z)恒成立；
（3）若D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），则z₁=z₂；
（4）对任意z₁、z₂、z₃∈C，结论D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立，
则其中真命题是（　　）

• A、（1）（2）（3）（4）
• B、（2）（3）（4）
• C、（2）（4）
• D、（2）（3）

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：简易逻辑

分析：由新定义逐一核对四个命题得答案．

解答： 解：对于（1），当z=0时，D（z）=|0|=|0|+|0|=0，命题（1）错误；
对于（2），设z=a+bi，则

.

z

=a-bi，则D（

.

z

）=|

.

z

|=|a|+|-b|=|a|+|b|=|z|=D（z），命题（2）正确；
对于（3），若D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），则z₁=z₂错误，如z₁=1+i，z₂=1-i，满足D（z₁）=D（z₂）（z₁、z₂∈C），但z₁≠z₂；
对于（4），设z₁=a+bi，z₂=c+di，z₃=e+fi，
则D（z₁，z₂）=||z₁-z₂||=||（a-c）+（b-d）i||=|a-c|+|b-d|，
D（z₂，z₃）=||z₂-z₃||=||（c-e）+（d-f）i||=|c-e|+|d-f|，
D（z₁，z₃）=||z₁-z₃||=|（a-e）+（b-f）i|=|a-e|+|b-f|，
由|a-e|=|（a-c）+（c-e）|≤|a-c|+|c-e|，|b-f|=|（b-d）+（d-f）|≤|b-d|+|d-f|，
得D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立，（4）正确．
∴正确的命题是（2）（4）．
故选：C．

点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．