Question

3．设a＞0，b＞0，若4是2^a与2^b的等比中项，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 8
• C． 4
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据4是2^a与2^b的等比中项可得a、b的等量关系，然后直接利用基本不等式可求的最小值．

解答 解：∵4是2^a与2^b的等比中项，
∴2^a•2^b=16=2^a+b，
∴a+b=4，a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$）≥$\frac{1}{4}$（2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$）=1，当且仅当a=b=2时取等号
故选：A．

点评 本题主要考查了基本不等式的应用，以及等比中项的概念，同时考查了计算能力，属于基础题．