【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点,点在轴上,过点的直线交椭圆交于,两点.
①若直线的斜率为,且,求点的坐标;
②设直线,,的斜率分别为,,,是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①;②存在,.
【解析】
(1)利用椭圆的离心率为、过点以及建立方程组,求出和的值即可;
(2)①设出直线的方程,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理和,得出的值即可;②假设成立,设,分别讨论直线的斜率是否为的情形,联立直线与圆锥曲线的方程以及利用,解出的值,求出点坐标即可.
(1)椭圆的离心率为,且过点.
,解之得:,
椭圆的方程为:;
(2)设,,
①设直线的方程为:,
由,得:,
,故,
,,
,解得.
;
②,设,
(ⅰ)当直线的斜率为时,,,
由,可得,解得,即;
(ⅱ)当直线的斜率不为时,设,,
设直线的方程为,
由,得:
,.
由,可得,
,
,
,
,
当时,上式恒成立.
综上,存在定点,使得恒成立.
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【题目】有关命题的说法错误的是( )
A.若p∨q为假命题,则p、q均为假命题
B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”
D.对于命题p:x≥0,2x=3,则¬P:x<0,2x≠3
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【题目】如图,在多面体中,平面平面.四边形为正方形,四边形为梯形,且,,,.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)线段上是否存在点,使得直线平面若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆:,长半轴长与短半轴长的差为,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若在轴上存在点,过点的直线分别与椭圆相交于、两点,且为定值,求点的坐标.
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【题目】现要完成下列3项抽样调查:①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查;②从某社区100户高收入家庭,270户中等收入家庭,80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查;③某中学报告厅有28排,每排有35个座位,一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,需要请28名听众进行座谈.较为合理的抽样方法是( )
A.①系统抽样;②简单随机抽样;③分层抽样
B.①简单随机抽样;②分层抽样;③系统抽样
C.①分层抽样;②系统抽样;③简单随机抽样
D.①简单随机抽样;②系统抽样;③分层抽样
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【题目】已知抛物线x2=4y.
(1)求抛物线在点P(2,1)处的切线方程;
(2)若不过原点的直线l与抛物线交于A,B两点(如图所示),且OA⊥OB,|OA|=|OB|,求直线l的斜率.
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【题目】如图,已知点在圆柱的底面圆上,为圆的直径.
(1)若圆柱的体积为,,,求异面直线与所成的角(用反三角函数值表示结果);
(2)若圆柱的轴截面是边长为2的正方形,四面体的外接球为球,求两点在球上的球面距离.
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【题目】2018年的政府工作报告强调,要树立绿水青山就是金山银山理念,以前所未有的决心和力度加强生态环境保护.某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况,并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施,下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额(单位:万元)的柱状图.
(Ⅰ)分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数;(结果保留整数)
(Ⅱ)园区管委会为尽快落实环保措施,计划对企业进行一定的奖励,提出了如下方案:若企业一年的环保投入金额不超过200万元,则该年不奖励;若企业一年的环保投入金额超过200万元,不超过300万元,则该年奖励20万元;若企业一年的环保投入金额超过300万元,则该年奖励50万元.
(ⅰ)分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和;
(ⅱ)现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查,求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率.
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