Question

【题目】关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）
（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为

（ax﹣2）（x+1）≥0，

且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），

∴a＞0；

又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2；

∴ =2，解得a=1；

（2）解：①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}；

②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0，

当a＞0时，原不等式化为（x﹣ ）（x+1）≥0，

它对应的方程的两个实数根为 和﹣1，且 ＞﹣1，

∴不等式的解集为{x|x≥ 或x≤﹣1}；

当a＜0时，不等式化为（x﹣ ）（x+1）≤0，

不等式对应方程的两个实数根为 和﹣1，

在﹣2＜a＜0时， ＜﹣1，

∴不等式的解集为{x| ≤x≤﹣1}；

在a=﹣2时， =﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}；

在a＜﹣2时， ＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤ }．

综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}，

a＞0时，不等式的解集为{x|x≥ 或x≤﹣1}，

﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x| ≤x≤﹣1}，

a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}，

a＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤ }．

【解析】（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，以及对解一元二次不等式的理解，了解求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．