Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

1

2

n²+pn，数列{b_n}的前n项和为T_n=2ⁿ-1，且a₄=b₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对于数列{c_n}有c_n=2a_n•b_n，请求出数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件根据a₄=b₄，求出p=

9

2

．由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
（2）c_n=2a_n•b_n=（n+4）×2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和R_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和S_n=

1

2

n²+pn，
数列{b_n}的前n项和为T_n=2ⁿ-1，且a₄=b₄，
∴a₄=S₄-S₃=（

1

2

×16+4p）-（

1

2

×9+3p）=

7

2

+p，
b₄=T₄-T₃=15-7=8，
∵a₄=b₄，∴

7

2

+p=8，解得p=

9

2

．
∴S_n=

1

2

n²+

9

2

n，
∴a₁=S₁=5，a_n=S_n-S_n-1=[（

1

2

n²+

9

2

n）-（

1

2

（n-1）²+

9

2

（n-1）=n+4，（n≥2）
∵a₁=5=1+4
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n+4．
∵T_n=2ⁿ-1，
∴b₁=T₁=1，T_n-1=2^n-1-1，（n≥2）
∴b_n=T_n-T_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，（n≥2）
∵b₁=1=2^1-1，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=2^n-1．
（2）c_n=2a_n•b_n=（n+4）×2ⁿ，
则R_n=5×2+6×2²+7×2³+…+（n+4）×2ⁿ
2R_n=5×2²+6×2³+…+（n+3）×2ⁿ+（n+4）×2ⁿ⁺¹，
两式相减：-R_n=10+2²+2³+…+2ⁿ-（n+4）×2ⁿ⁺¹
=10+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+4）×2ⁿ⁺¹
=6-（n+3）×2ⁿ⁺¹，
∴R_n=（n+3）×2ⁿ⁺¹-6．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．