Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-1（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，nb_n+1=（n+1）b_n，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）数列{b_n}的前n项和为Q_n，且T_n=S_n+Q_n是否存在常数λ，使得对任意正整数n，不等式λT_n≥T_n+1恒成立？若存在，求λ的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1，得a₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-a_n-1），由此能求出an=2n-1．由

bn+1

n+1

=

bn

n

，能求出b_n=n．
（2）由T_n=S_n+Q_n，得T_n=2•2n-1-1+

n(n-1)

2

=2n-1+

n(n+1)

2

，由此能求出λ存在最小值3，使不等式λT_n≥T_n+1成立．

解答： 解：（1）令n=1，得a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-a_n-1），
整理，得a_n=2a_n-1，
∴an=2n-1．
∵数列{b_n}满足b₁=1，nb_n+1=（n+1）b_n，
∴

bn+1

n+1

=

bn

n

，
∴{

bn

n

}是首项为1的常数列，∴

bn

n

=1，
∴b_n=n．
（2）∵数列{b_n}的前n项和为Q_n，
∴Qn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∵T_n=S_n+Q_n，
∴T_n=2•2n-1-1+

n(n-1)

2

=2n-1+

n(n+1)

2

，
当n=1时，λT₁≥T₂，得λ≥3，
当n=2时，λT₂≥T₃，得λ≥

13

6

，
猜想：当λ≥3时，3T_n≥T_n+1．
证明：3Tn-Tn+1=3[2n-1+

n(n+1)

2

]-[2n+1-1+

(n+1)(n+2)

2

]
=2ⁿ+n-3≥0．
综上所述，λ存在最小值3，使不等式λT_n≥T_n+1成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查使得不等式成立的实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．