Question

已知一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x₁，x₂分别是一元二次方程cx²+dx+a=0的两根的2013倍，试证明：|b|=|d|．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：根据一元二次方程根与系数之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：∵一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∵x₁，x₂分别是一元二次方程cx²+dx+a=0的两根的2013倍，
∴一元二次方程cx²+dx+a=0的两根分别为

x1

2013

，

x2

2013

，
则

x1

2013

+

x2

2013

=-

d

c

，

x1

2013

•

x2

2013

=

a

c

，
即x₁+x₂=-

d

c

×2013，x₁x₂=2013²•

a

c

，
则-

d

c

×2013=-

b

a

，x₁x₂=2013²•

a

c

=

c

a

，
即2013ad=bc，2013²•a²=c²，
则c=±2013a，
2013ad=bc=±2013ab，
则b=±d成立．
即b|=|d|成立．

点评：本题主要考查一元二次方程根与关系的应用，要求熟练掌握根与系数之间的关系．