Question

2．已知数列{a_n}的首项为a（a≠0），前n项和为S_n，且有S_n+1=tS_n+a（t≠0），b_n=S_n+1．（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N^*，都有k（$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$）≤b_n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，求能够使数列{c_n}为等比数列的所有数对（a，t）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件和“n=1时a₁=S₁、当n≥2时a_n=S_n-S_n-1”，化简S_n+1=tS_n+a（t≠0），再由等比数列的定义判断出数列{a_n}是等比数列，利用等比数列的通项公式求出a_n；
（Ⅱ）由条件和（I）求出b_n，代入$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$化简利用裂项相消法求出$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，代入已知的不等式化简后，利用函数的单调性求出对应函数的最小值，从而求出k的取值范围；
（Ⅲ）利用条件和等比数列的前n项和公式求出S_n，代入b_n化简后，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出c_n，化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组，求出方程组的解即可求出结论．

解答 解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由题意知，首项为a，且S_n+1=tS_n+a（t≠0），
当n=1时，则S₂=tS₁+a，解得a₂=at，（2分）
当n≥2时，S_n=tS_n-1+a，
∴（S_n+1-S_n）=t（S_n-S_n-1），则a_n+1=ta_n，（4分）
又a₁=a≠0，综上有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=t（n∈{N}_{+}）$，
即{a_n}是首项为a，公比为t的等比数列，
∴${a}_{n}=a{t}^{n-1}$；（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${a}_{n}=2{•1}^{n-1}$=2，则S_n=2n，
∴b_n=S_n+1=2n+1，则$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}+…+\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$）+$…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{3（2n+3）}$，
代入不等式k（$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$）≤b_n，
化简得，k≤$\frac{3（2n+1）（2n+3）}{n}$=3（4n+$\frac{3}{n}+8$），
∵函数y=$4n+\frac{3}{n}+8$在（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）上单调递增，且n取正整数，
∴当n=1时，函数y=$4n+\frac{3}{n}+8$取到最小值是15，
∴k≤45；（10分）
（Ⅲ）∵t≠1，∴S_n=$\frac{a（1-{t}^{n}）}{1-t}$，则b_n=S_n+1=1+$\frac{a-a{t}^{n}}{1-t}$=1+$\frac{a}{1-t}$-$\frac{a{t}^{n}}{1-t}$，
∴c_n=2+b₁+b₂+…+b_n=2+（1+$\frac{a}{1-t}$）n-$\frac{a}{1-t}$（t+t²+…+tⁿ）
=2+（1+$\frac{a}{1-t}$）n-$\frac{a}{1-t}$×$\frac{t（1-{t}^{n}）}{1-t}$
=$2-\frac{at}{（1-t）^{2}}$+$（1+\frac{a}{1-t}）n$+$\frac{a{t}^{n+1}}{（1-t）^{2}}$，
由题设知{c_n}为等比数列，所以有$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{at}{{（1-t）}^{2}}=0}\\{1+\frac{a}{1-t}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{t=2}\end{array}\right.$，
即满足条件的数对是（1，2）．（12分）

点评 本题考查了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，数列的求和方法：裂项相消法、分组求和法，以及“n=1时a₁=S₁、当n≥2时a_n=S_n-S_n-1”关系式的应用，综合性强．属于难题．