Question

（本小题满分14分）已知函数，，设曲线在点处的切线方程为. 如果对任意的，均有：

①当时，；

②当时，；

③当时，，

则称为函数的一个“? ­-点”.

（1）判断是否是下列函数的“? ­-点”：

①； ②.（只需写出结论）

（2）设函数.

（ⅰ）若，证明：是函数的一个“? ­-点”；

（ⅱ）若函数存在“? ­-点”，直接写出的取值范围.

 

Answer 1

（1）①0是的“? ­-点”； ②0不是的“? ­-点”.（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）分别求两个函数的导数,及其在处的切线方程.然后判断在,和的符号.（2）（ⅰ）先求导,再求在处的切线的方程为.令.在求导,讨论导数的符号可得函数的单调性.根据其单调性判断函数在时, 时,和时的符号即可.（ⅱ）由（ⅰ）可知.

试题解析：【解析】
（1）①0是的“? ­-点”；

②0不是的“? ­-点”. 2分

（2）当时，.其定义域为，（）.

（ⅰ）因为，.

所以 在点处的切线方程为，

即. 4分

令.

则 . 5分

因为，

所以.

所以 函数是上的增函数. 7分

所以 当时，，即；

当时，，即；

当时，，即.

所以 是函数的 “? ­-点”. 10分

（ⅱ）若函数存在“? ­-点”，则的取值范围是. 14分

考点：1新概念问题;2用导数研究函数的性质.