【题目】已知点是函数
的图象上的一点,等比数列
的前
项和为
,数列
的首项为
,且前
项和
满足:
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)若数列的通项
,求数列
的前
项和
;
(3)若数列的前项和为
,是否存在最大的整数
,使得对任意的正整数n,均有
总成立?若成立,求出t;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
;(2)
;(3)存在最大的整数
,使得对任意的正整数n,均有
总成立
【解析】
(1)先求出,然后求出
,利用数列
为等比数列,可求得
,从而可求得数列
的通项公式;利用
,可求得数列
是一个首项为1公差为1的等差数列,从而可求得
的通项公式,进而可得
的通项公式;
(2)利用错位相减法求数列的前
项和
;
(3)利用裂项法知,,于是可求得
,可得不等式
恒成立,转化为最值求得
的范围,进而可得最大的整数
.
解:(1),故
,
,
,
,
又数列为等比数列,
,
,又公比
,
;
,
又,
;
∴数列构成一个首项为1公差为1的等差数列,
,于是
;
当;
;
(2)由(1)知,
,
,
两式相减得:
;
(3),
,
因为总成立,即
总成立,
对任意的正整数n均成立,
又,
,得
,
故存在最大的整数,使得对任意的正整数n,均有
总成立.
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【题目】已知矩形,
,
,将
沿矩形的对角线
所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则( ).
A. 当时,存在某个位置,使得
B. 当时,存在某个位置,使得
C. 当时,存在某个位置,使得
D. 时,都不存在某个位置,使得
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【题目】在直角坐标系中,曲线
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
曲线
的极坐标方程为
,
与
交于点
.
(1)写出曲线的普通方程及直线
的直角坐标方程,并求
;
(2)设为曲线
上的动点,求
面积的最大值.
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【题目】如图,已知四面体中,
,且
两两互相垂直,点
是
的中心.
(1)求二面角的大小(用反三角函数表示);
(2)过作
,垂足为
,求
绕直线
旋转一周所形成的几何体的体积;
(3)将绕直线
旋转一周,则在旋转过程中,直线
与直线
所成角记为
,求
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,过点
的直线
的参数方程为
(
为参数),
与
交于
两点
(1) 求的直角坐标方程和
的普通方程;
(2) 若,
,
成等比数列,求
的值.
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【题目】设m,n为平面α外两条直线,其在平面α内的射影分别是两条直线m1和n1,给出下列4个命题:①m1∥n1m∥n;②m∥nm1与n1平行或重合;③m1⊥n1m⊥n;④m⊥nm1⊥n1.其中所有假命题的序号是_____.
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【题目】为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛,学校先从高三年级选取60名同学进行竞赛预选赛,将参加预选赛的学生成绩(单位:分)按范围,
,
,
分组,得到的频率分布直方图如图:
(1)计算这次预选赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若对得分在前的学生进行校内奖励,估计获奖分数线;
(3)若这60名学生中男女生比例为,成绩不低于60分评估为“成绩良好”,否则评估为“成绩一般”,试完成下面
列联表,是否有
的把握认为“成绩良好”与“性别”有关?
成绩良好 | 成绩一般 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附:,
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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