Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁=AB=2，AB⊥BC．点M，N分别是CC₁，B₁C的中点，G是棱AB上的动点．
（I）求证：B₁C⊥平面BNG；
（II）若CG∥平面AB₁M，试确定G点的位置，并给出证明；
（III）求二面角M-AB₁-B的余弦值．

Answer 1

（本小题共14分）
（I） 证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁，点N是B₁C的中点，
∴BN⊥B₁C…（1分）
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B
∴AB⊥平面B₁BCC₁…（2分）
∵B₁C?平面B₁BCC₁
∴B₁C⊥AB，即B₁C⊥GB…（3分）
又BN∩BG=B
∴B₁C⊥平面BNG…（4分）
（II）当G是棱AB的中点时，CG∥平面AB₁M．…（5分）
证明如下：
连接AB₁，取AB₁的中点H，连接HG，HM，GC，
则HG为△AB₁B的中位线
∴GH∥BB₁，…（6分）
∵由已知条件，B₁BCC₁为正方形
∴CC₁∥BB₁，CC₁=BB₁
∵M为CC₁的中点，
∴…（7分）
∴MC∥GH，且MC=GH
∴四边形HGCM为平行四边形
∴GC∥HM
又∵GC?平面AB₁M，HM?平面AB₁M…（8分）
∴CG∥平面AB₁M…（9分）
（III）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁且AB⊥BC
依题意，如图：以B₁为原点建立空间直角坐标系B₁-xyz，…（10分）
∴B₁（0，0，0），B（0，2，0），M（2，1，0），A（0，2，2），C₁（2，0，0）
则，
设平面B₁AM的法向量，
则，即，
令x=1，有…（12分）
又∵平面B₁AB的法向量为
∴==，…（13分）
设二面角M-AB₁-B的平面角为θ，且θ为锐角
∴cosθ=cos= …（14分）
分析：（Ⅰ）结合题目中的条件直接利用线面垂直的判定定理即可得证．
（Ⅱ）由于给出的条件是CG∥平面AB₁M则根据线面平行的性质定理可得CG与平面AB₁M内的一条直线平行，由于点M是CC₁的中点故可令G是棱AB的中点再取AB₁的中点H即可构造出平行四边形HGCM从而平面AB₁M内与CG平行的直线就找到了故G是棱AB的中点．
（Ⅲ）根据直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的几何特性可建立如图（Ⅲ）所示的空间直角坐标系，然后求出平面B₁AM的法向量平面B₁AB的法向量然后再根据向量的夹角公式求出cos则此即为二面角M-AB₁-B的余弦值．
点评：本题主要考查了线面垂直的判定，线面平行的性质，以及二面角的求解，属必考题，较难．解题的关键是熟记线面垂直的判定定理，线面平行的性质定理以及会求平面的法向量！