Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），设a_n=f（n+3）-f（n），n∈N^*，数列{a_n}的前n项和为S_n单调递增，则下列不等式总成立的是（　　）

• A、f（3）＞f（1）
• B、f（4）＞f（1）
• C、f（5）＞f（1）
• D、f（6）＞f（1）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件推导出a_n=6an+9a+3b，所以数列{a_n}是一个等差数列．要使前n项和递增，必须满足：公差大于0且从第二项起往后都是正数．由此能求出f（6）＞f（1）总成立．

解答： 解：∵二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），
a_n=f（n+3）-f（n），
∴an=[a(n+3)2+b(n+3)+c]-[an2+bn+c]
=6an+9a+3b，
∴数列{a_n}是一个等差数列．
要使前n项和递增，必须满足：公差大于0且从第二项起往后都是正数．
由a₂=21a+3b＞0，得7a+b＞0，
∵f（6）-f（1）=5（7a+b）＞0，
∴f（6）＞f（1）总成立．
故选：D．

点评：本题考查二次函数的性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．