Question

17．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，BC=1，CC₁=2，$B{C_1}=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：BC₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）当$AB=\frac{3}{2}$时，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理的逆定理可得：BC₁⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得：AB⊥BC₁．进而证明BC₁⊥平面ABC．
（II）由（Ⅰ）知BC₁⊥平面ABC，可得BC₁即为三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，再利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积计算公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵BC=1，CC₁=2，$B{C_1}=\sqrt{3}$，
则$CC_1^2=B{C^2}+BC_1^2$，
∴BC₁⊥BC．
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁．
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC₁⊥平面ABC，
∴BC₁即为三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积$V=\frac{1}{2}×AB×BC×B{C_1}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、勾股定理的逆定理、三棱柱的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．