Question

【题目】设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足2 =an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=（an+1）2 ，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1 ， 有2 =a1+1，解得a1=1； 当n≥2时，由2 =an+1得4Sn=an2+2an+1，4Sn﹣1=an﹣12+2an﹣1+1，
两式相减得4an=an2﹣an﹣12+2（an﹣an﹣1），
所以（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
因为数列{an}的各项为正，所以an﹣an﹣1﹣2=0，
所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以数列{an}的通项公式为an=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=（an+1）2 =2n22n﹣1=n4n ．
所以前n项和Tn=14+242+343+…+n4n ，
4Tn=142+243+344+…+n4n+1 ，
两式相减得﹣3Tn=4+42+43+…+4n﹣n4n+1
= ﹣n4n+1 ，
化简可得Tn= + 4n+1 ．
【解析】（Ⅰ）首先利用Sn与an的关系：当n=1时，a1=S1 ， 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；结合已知条件等式推出数列{an}是等差数列，由此求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）求得bn的表达式，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．